第三节 可信区间的估计

一、参数估计的意义

一组调查或实验数据，如果是计量资料可求得平均数，标准差等统计指标，如果是计数资料则求百分率藉以概括说明这群观察数据的特征，故称特征值。由于样本特征值是通过统计求得的，所以又称为统计量以区别于总体特征值。总体特征值一般称为参数（总体量）。我们进行科研所要探索的是总体特征值即总体参数，而我们得到的却是样本统计量，用样本统计量估计或推论总体参数的过程叫参数估计。

本章第一节例6.1通过检查110个健康成人的尿紫质算得阳性率为10%，这是样本率，可用它来估计总体率，说明健康成人的尿紫质阳性率水平，这样的估计叫“点估计”。但由于存在抽样误差，不同样本（如再检查110人）可能得到不同的估计值。因此我们常用“区间估计”总体率（或总体均数）大概在那一个范围内，这个范围就叫可信区间。区间小的一端叫下限，大的一端叫上限。常用的有95%可信区间与99%可信区间。根据同一资料所作95%可信区间比99%可信区间窄些（上、下限较靠近），但估计错误的概率后者为1%，前者为5%，进行总体参数的区间估计时可根据研究目的与标准误的大小选用95%、或99%。

二、总体均数的估计

为了说明常用的总体均数之区间估计法，我们不妨回顾一下上节所叙的t分布。

由求t的基本公式

我们看到X与μ的距离等于t（SX），又根据X集中分布在μ周围的特点，若取t的5%

界即t0.05,,（或1%界）乘以SX作为X与μ的距离范围，就可用式（6.6）或式(6.7)求

出区间来估计总体均数μ所在范围，估错的概率仅有5%或1%，因此称95%或99%可信区间。下面用实例说明其求法。

95%可信区间　X-t0.05,νSX<μ<X+T0.05,ΝSX(6.6)

99%可信区间　X-t0.05,νSX<μ<X+T0.01,ΝSX(6.7)

例6.2　上面抽样实验中第1号样本的均数为488.6，标准差为61.65，例数10，自由度ν=10-1=9，试求95%与99%可信区间。

1．求标准误

95%可信区间　488.6-2.262(19.50)<μ<488.6+2.262(19.50),即有95%的把握估计μ是在444.49～532.71区间内

99%可信区间　488.6-3.250(19.50)<μ<488.6+3.250(19.50),可有99%的把握估计μ是在425.22～551.98区间内

这里两个可信区间都包含μ=500在内，所以这次估计是估计对了。

抽样实验共抽了100个样本，除1号样本外其余99个样本均数也对μ作了区间估计，这些95%可信区间列在表6.4中。我们看到，只有5个95%可信区间（右上角标有星号）不包含总体均数μ=500在内，它们是：

平时我们并不重复抽取许多样本来一次次估计总体均数而仅是一次，至于算出的均数会类似一百个样本均数中的那一个就很难说了。如果不遇到类似上列那些均数过大或过小的样本，求出可信区间后总体均数真是在该区间内，那么便是一次成功的估计：但是极少数情况下我们也会遇到极端的样本，以至总体均数并不在我们提出的区间内。不过，我们具体所作的这次估计到底属于前种情况还是后一种，这是无法知道的，因为我们不知道μ是多少（若已知μ便不必估计它了）。然而象后种情况那样作出错估的概率终究很小，只5%或1%，所以用这样的方法估计总体均数还是可行的。

三、总体率的估计

上面已经提到，计数资料可以计算相对数（率）。我们若由样本统计量P估计总体参数π，同样要考虑率的抽样误差，据数理统计研究结果，样本率的分布也近似正态分布，尤其当π比较靠近50%且样本较大时。于是对样本，百分率的可信区间可利用正态分布规律估计，公式是：

95%可信区间　P-1.96Sp<π

99%可信区间　P-2.58Sp<π

（按正态分布，双侧尾部面积α=0.05时的u值为1.96，α=0.01时的u值为2.58，故用这两式求可信区间时不必查表找临界u值，记住这两数即可。）

例6.3　某医院收治200例急性菌痢患者，其中粪便细菌培养阳性者共80例，试估计菌痢细菌培养的总体阳性率95%与99%可信区间。

1.求阳性率　P＝80／200×100％＝40％　（或0.40）

3．求可信区间

95%可信区间　40%-1.96(3.46%)<π<40%+1.96(3.46%)，即估计π在33.22%～46.78%之间

99%可信区间　40%-2.58(3.46%)<π<40%+2.58(3.46%)，即估计π在31.07%～48.93%之间

如果是小样本的百分率，求可信区间可通过查表获得，附表4是n为10、15、20、30时查95%与99%可信区间的一个简表。此外，统计学专著中还有更详细的表可查。